Бройни системи

Бройната система е система от знаци и правила за писане на числа.

Най- популярната за писане и смятане на числа е десетичната бройна система (БС).

Името й произлиза от броя на цифрите: 0,1,2…,9- 10 на брой.

Пример 1:

 

bs-pr1

Умножаваме всяка цифра със степен на 10, в зависимост от позицията на цифрата в числото.

Знакът (10) означава, че числото е десетично.

Това правило ще ползваме по- късно отново.

br1

Двоичната бройна система е аналогична на десетичната:

!Цифрите са две на брой: 0,1.

!Големината на числото зависи не само от цифрите, които участват в него, но и от позициите на които стоят.

Бройни системи при които позицията е от съществено значение за големината на числото, се нарича позиционна бройна система.

Всяко десетично число има съответен запис в двоична бройна система.

bs1Забележете логиката, по която следват 2-ичните представяния.

8 ще бъде първото четирицифрено двоично число, най- малкото такова е 1000.

Продължете по същата логика и попълнете таблицата до край.

За 16 трябва да получите 10000.Забележете, че червените 10-ични числа са първите с двоично представяне, с 1 цифра повече от предходното число.

Каква е връзката между тях?

Всички са степени на 2:

Предположете как се представя 32 в 2-ична БС? Защо?

Преобразуване на числа от 2-ична БС в 10-ична БС:

Като имаме предвид Пример 1, по аналогия ще представим число от 2-ична БС в 10-ична БС.

Пример 2:

bs-pr2

dbs1

Не бъркай!

Винаги започвай отдясно наляво

Всяко число повдигнато на 0-ва степен е 1!

Винаги започвай със степен 0

За проверка: най- високата степен е с 1 по- малко от броя на цифрите

Обща формула за p-ична бройна система

Преобразуване на числа от 10-ична БС в 2-ична БС:

132(10) ще делим на 2 докато стигнем до 1.

Важни са остатъците от делението, които могат да са само 0 или 1. Защо?

Пример 3:

bs21

Започваме от червената единица и в обратен ред записваме остатъците от делението.

Така получаваме 2-чното представяне на числото.

Отговор: 132(10)=10000100(2)

Не бъркай!

Не пропускай да запишеш всички остатъци

Съществуват и други позиционни бройни системи.

Например 8-ична: с цифрите 0,1, 2…7

16-ична: с цифрите 0,1,2…9 и буквите A, B, C, D, E, F.

Методите за преобразуване в 10-ична БС и обратно са аналогични.

Съществуват и непозиционни бройни системи,

при които големината на числото не зависи от позициите на които стоят цифрите,

а от други правила.

Например: Ето някои от правилата на Римска бройна система (която е непозиционна)

-IV, IX- когато по- малко стои пред по- голямо, цифрите се изваждат

-VII, XVI- когато по- голямо стои пред по- малко, цифрите се събират

-Не могат да се записват повече от три еднакви знака последователно и др.

-Знаците с които могат да се пишат римски числа са: I, V, X и т. н.

Има ли нужда от двоичната бройна система?

Тя се изучава защото всяка една информация, която следва да се обработи от компютъра, се кодира в двоична БС.

По този начин информацията се предава на импулси, асоциирайки 0 като “няма сигнал” и 1 като “има сигнал”.

Допълнение за любознателни:

16- ична бройна система:

знаци {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}. където А=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Преобразуване от 10-ична в 16-ична:

Делим (10)-ичното число на 16 и записваме цялата част и остатъка. Остатъците в обратен ред образуват числото в (16)-ична бройна система.

shbs3

Преобразуване от 16-ична в 10-ична:

12С(16)=С.16^0+2.16^1+1.16^2=12.1+2.16+1.256=300(10)

shbs2

Преобразуване от 2-ична в 16-ична и обратно:

1 вариант: 2-ична–>10-ична –>16-ична

2 вариант: 1101101(2) Разделяме числото на четворки отдясно наляво.

В случая: 110, 1101. Преобразуваме всяко от тези числа в 16-чна бройна система: 110=6, 1101=13=D(16) ,т.е. 1101101(2)=6D(16)

shbs5   shbs4

Обратно, преобразуването на числа от 16-ична до 2-ична може да се сведе до преубразуването на всяка 16-чна цифра в четворка двоични цифри(добавят се нули отпред ако е необходимо, за да се сведе до четворка) напр. D6(16)=1101|0110(2)

 

Коментари: