Задача 1
Докажете, че средите на отсечките с краища средите на срещуположните страни на произволен четириъгълник съвпадат.
Решение
Означаваме средите на страните AB, BC, CD, DA съответно с точките N, Q, M, P. Нека S1 и S2 са средите съответно на PQ и MN. Избираме произволна точка О в равнината.
$$ OS_1↖ {→} =1/2(OP↖ {→}+OQ↖ {→})=1/2(1/2(OA↖ {→}+OD↖ {→})+1/2(OB↖ {→}+OC↖ {→}))=$$
$$1/4(OA↖ {→}+OB↖ {→}+OC↖ {→}+OD↖ {→})$$
Аналогично
$$ OS_2↖ {→} =1/4(OА↖ {→}+OB↖ {→}+OC↖ {→}+OD↖ {→}) ⇒ OS_1↖ {→} =OS_2↖{→} ⇒ S_1≡S_2 $$
Чертеж:
Задача 2
В четириъгълника ABCD точките M и N са средите съответно на страните АВ и СD, а точката Р е среда на MN. За точка Q, вътрешна за △BCD, е изпълнено векторното равенство $$ AQ↖ {→} =1/3(AB↖ {→}+AD↖ {→} +AC↖ {→})$$ Да се докаже, че точките А,Р и Q лежат на една права.
Решение:
$$ AP↖ {→} =k AQ↖ {→}$$
$$ AP↖ {→} =1/2(АM↖ {→}+AN↖{→}) =1/2(1/2AB↖ {→} +1/2(АD↖ {→} +AC↖{→}))$$
$$ AP↖ {→} =1/4(AB↖ {→} +AD↖ {→} +AC↖ {→}), AB↖ {→} +AD↖ {→} +AC↖ {→} =4 AP↖ {→} (1)$$
$$ AQ↖ {→} = 1/3(AB↖ {→} +AD↖ {→} +AC↖ {→}), AB↖ {→} +AD↖ {→} +AC↖ {→} =3 AQ↖ {→} (2)$$
От (1) и (2) получаваме
$$4 AP↖ {→} =3 AQ↖ {→}, т.е. AP↖ {→} =3/4AQ↖ {→} ⇒$$лежат на една права.
Чертеж:
Задача 3
Върху страните на BC и CD на успоредника ABCD са взети точки P и Q така, че BP:РС=2:5, CQ:QD=4:1.
Ако $$АВ↖ {→}=a↖ {→}$$ $$AD↖ {→}=b↖ {→}$$ изразете чрез $$a↖ {→} и b↖ {→}$$ векторите:
$$а)AP↖ {→}$$ $$б)AQ↖ {→}$$ $$в)PQ↖ {→}$$
Решение:
а)
$$1) BP:PC=2:5 ⇒BP↖ {→}=2/7BC↖ {→}=2/7b↖ {→}$$
$$2) AP↖ {→}=AB↖ {→}+BP=a↖ {→}+BP↖ {→}$$
$$3) AP↖ {→}=a↖ {→}+2/7b↖ {→}$$
б)
$$1) CQ:QD=4:1 ⇒DQ↖ {→}=1/DBC↖ {→}=1/5Aa↖ {→}.$$
$$2) AQ↖ {→}=AD↖ {→}+DQ=b↖ {→}+DQ↖ {→}$$
$$3) AQ↖ {→}=b↖ {→}+1/5a↖ {→}.$$
в) I начин:
$$PQ↖ {→}=AQ↖ {→}-AP=(b↖ {→}+1/5a↖ {→})-(a↖ {→}+2/7b↖ {→})= -4/5a↖ {→}+ 5/7b↖ {→}$$
II начин:
$$1) BP:PC=2:5 ⇒PC↖ {→}=5/7BC↖ {→}=5/7b↖ {→}$$
$$2) CQ:QD=4:1 ⇒QC↖ {→}=4/5DC↖ {→}=4/5a↖ {→}$$
$$3) PQ↖ {→}=PC↖ {→}-QC↖ {→}=5/7b↖ {→}-4/5a↖ {→}= -4/5a↖ {→}+5/7b↖ {→}$$
Чертеж:
Задача 4
Точките М и N са средите съответно на страните АВ и CD на четириъгълника ABCD. Да се докаже, че средите на отсечките AN,BN,CM и DM са върхове на успоредник или лежат на една права.
Решение:
Означаваме страните на AN,BN,CM и DM съответно с P, Q, R и S. Избираме произволна точка О. След двукратно прилагане на теоремата за среда на отсечка получавме:
$$ PR↖ {→} = OR↖ {→} - OP↖ {→}= 1/2(OM↖ {→} +OC↖ {→} )-1/2(OA↖ {→} +ON↖ {→} )=$$
$$1/2(OM↖ {→} +OC↖ {→} -OA↖ {→} -ON↖ {→})=1/2(OM↖ {→} -OA↖ {→} +OC↖ {→} -ON↖ {→})=$$
$$1/2(AM↖ {→} +NC↖ {→})= 1/2(1/2 AB↖ {→} +1/2DC↖ {→})=1/4(AB↖ {→} +DC↖ {→})$$
Аналогично получаваме, че:
$$SQ↖ {→}=1/4(AB↖ {→} + DC↖ {→} )$$
Следователно $ PR↖ {→} = SQ↖ {→}$
А това означава, че двата вектора са колинеарни, както и че лежат на успоредни прави или на една права. Следователно четириъгълникът PQRS e успоредник.Или ако $ PR↖ {→}$ и $SQ↖ {→}$ лежат на една права, то точките P, Q, R и S лежат на една права.
Чертеж:
Задача 5
В триъгълник АВС точка М е среда на ВС, точка N лежи на страната AC, като AN=2AC, a точка Р лежи на правата АВ, акто В е средата на АР. Да се докаже, че точките N, M и Р лежата на една права.
Достатъчно е да докажем, че има число k, за което е изпълнено, че $NM↖ {→} =k. NP↖ {→}$
$$NМ↖ {→} = NА↖ {→} + AВ↖ {→} + ВM↖ {→} $$
$$NM↖ {→} =NC↖ {→} + CM↖ {→}$$
Но $CM↖ {→}+ВM↖ {→}=0↖ {→}$
Събираме почленно и получаваме, че: $$2.NМ↖ {→} =1/2NA↖ {→}+ AВ↖ {→}$$
$$NP↖ {→} = NА↖ {→} + АB↖ {→}+ BP↖ {→} $$
Но $АB↖ {→}=BP↖ {→} ⇒ NP↖ {→} = 2(1/2NА↖ {→} + АB↖ {→})=2NM↖ {→}$
Това означава, че N,M,P лежат на една права. Нещо повече - М е среда на NP.
Чертеж:
