Вектор

Отсечка, на която единият край е приет за първи, а другият – за втори, се нарича насочена отсечка или вектор.

Всеки вектор има следните елементи:

- Начало

- Край

- Посока

- Дължина

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Колинеарни вектори

Вектори, които лежат на една и съща права или на успоредни прави, се наричат колинеарни

Еднопосочни вектори:

Колинеарни вектори, които имат една и съща посока, се наричат еднопосочни.

Противопосочни вектори:

Два колинеарни вектора, които имат противоположни посоки, се наричат противопосочни.

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Неколинеарни вектори

Вектори, които не лежат на успоредни прави.

нулев вектор:

Вектор, чиито краища съвпадат, се нарича нулев вектор $ 0↖ {→}$. Той няма определена посока, а дължината му е 0. Всяка точка може да се разгледа като нулев вектор.

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Противоположни вектори:

Два вектора, които са противопосочни и имат равни дължини, се наричат противоположни.

Равни вектори:

Вектори, които имат една и съща посока и една и съща дължина, се наричат равни вектори.

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Последователно събиране на повече вектори

Свойства:

$ a↖ {→}$+$ b↖ {→}$=$ b↖ {→}$+$ a↖ {→}$

($ a↖ {→}$+$ b↖ {→}$)+$ c↖ {→}$=$ a↖ {→}$+($ b↖ {→}$+$ c↖ {→}$)

$ a↖ {→}$+$ 0↖ {→}$=$ 0↖ {→}$+$ a↖ {→}$

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Сбор на колинеарни вектори

- еднопосочни вектори;

- противопосочни вектори:

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Изваждане на вектори

Разликата на векторите $ a↖ {→}$ и $ b↖ {→}$ се нарича сборът на векторите $ a↖ {→}$ + (- $ b↖ {→}$)

Свойства:

$ 0↖ {→}$+(-$ b↖ {→}$)=-$ b↖ {→}$

$ a↖ {→}$+(-$ а↖ {→}$)=$ а↖ {→}$-$ a↖ {→}$=$ 0↖ {→}$

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Умножение на вектор с число

Произведението на числото к с вектора $ u↖ {→}$ се нарича вектoр с дължина, равна на произведението от дължината на $ u↖ {→}$ и абсолютната стойност на к, еднопосочен с $ u↖ {→}$, ако к>0 и противопосочен, ако к<0.

|k.$ u↖ {→}$|=|k|.|$ u↖ {→}$|

T - За всяка точка C от правата AB съществува такова число к, че $ AB↖ {→}$=к.$ AB↖ {→}$

Т - Ако $ AC↖ {→}$=к.$ AB↖ {→}$, то т. С лежи на правата АВ.

Ако $ u↖ {→}$ и $ v↖ {→}$ са колинеарни вектори, то съществува точно едно число k, за което $ v↖ {→}$=k.$ u↖ {→}$

$$|k|={ |v|↖ {→}}/{ |u|↖ {→}}$$

Два вектора са колинеарни, тогава и само тогава, когато съществува число k, за което $ v↖ {→}$=k.$ u↖ {→}$.

Свойства на произведението:

k.(m.$ a↖ {→}$)=(k.m).$ a↖ {→}$

(k+m).$ a↖ {→}$=k.$ a↖ {→}$+m.$ a↖ {→}$

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Теорема

Ако М е средата на страната АВ в триъгълника АВО, то $$ ОМ↖ {→}=1/2 ( ОА↖ {→} + ОВ↖ {→} )$$

ПОКАЖИ / СКРИЙ

Теорема

Ако ОАВ е триъгълник и $$ ОМ↖ {→}=1/2 ( ОА↖ {→} + ОВ↖ {→} )$$, то точка М е средата на АВ.